Question

19．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R），若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）当x∈[-2，2]时，求g（x）=f（x）-kx最小值h（k）；
（3）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0． 再由f（x）的值域为[0，+∞）可得$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={b}^{2}-4a=0\end{array}\right.$，由此求得a、b的值，即可求得f（x）的表达式．
（2）因为g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{k-2}{2}$为对称轴的抛物线，分类讨论给定区间与对称轴的关系，可得g（x）=f（x）-kx最小值h（k）的表达式；
（3）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，则$\frac{k-2}{2}$≥2 或$\frac{k-2}{2}$≤-2时，解得实数k的取值范围．

解答 解：（1）因为f（-1）=0，所以a-b+1=0．
因为f（x）的值域为[0，+∞），所以 $\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={b}^{2}-4a=0\end{array}\right.$，
可得 b²-4（b-1）=0，
解得b=2，a=1，
所以f（x）=x²+2x+1；
（2）因为g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{k-2}{2}$为对称轴的抛物线；
当$\frac{k-2}{2}$≤-2，即k≤-2时，g（x）在[-2，2]上为增函数，故当x=-2时，函数g（x）取最小值h（k）=2k+1；
当-2＜$\frac{k-2}{2}$＜2，即-2＜k＜6时，g（x）在[-2，$\frac{k-2}{2}$]上为减函数，在[$\frac{k-2}{2}$，2]上为增函数，故当x=$\frac{k-2}{2}$时，函数g（x）取最小值h（k）=$\frac{4k-{k}^{2}}{4}$；
当$\frac{k-2}{2}$≥2，即k≥6时，g（x）在[-2，2]上为减函数，故当x=2时，函数g（x）取最小值h（k）=-2k+9；
综上所述，g（x）=f（x）-kx最小值h（k）=$\left\{\begin{array}{l}2k+1，k≤-2\\ \frac{4k-{k}^{2}}{4}，-2＜k＜6\\-2k+9，k≥6\end{array}\right.$
（3）由（2）中g（x）函数图象是以直线x=$\frac{k-2}{2}$为对称轴的抛物线；
若g（x）=f（x）-kx是单调函数，
则$\frac{k-2}{2}$≥2 或$\frac{k-2}{2}$≤-2时，
解得k∈（-∞，-2]∪[6，+∞），
故实数k的取值范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．