Question

10．己知二次函数f（x）=x²-2x-1．
（1）求f（x）在[0，3]上的最大值；
（2）设f（x）在[t，t+2]上的最小值为g（t），求g（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的图象和性质，可得当x=3时，函数取最大值2；
（2）分析给定区间与函数图象对称轴的关系，分类讨论，可得g（t）的最小值．

解答 解：（1）二次函数f（x）=x²-2x-1的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
故在[0，3]上，当x=3时，函数取最大值2；
（2）当t+2≤1，即t≤-1时，f（x）在[t，t+2]上为减函数，当x=t+2时，g（t）取最小值t²+2t-1；
当t＜1＜t+2时，f（x）在[t，1]上为减函数，在[1，t+2]上为增函数，当x=1时，g（t）取最小值-2；
当t≥1时，f（x）在[t，t+2]上为增函数，当x=t时，g（t）取最小值t²-2t-1；
综上所述，g（t）的最小值为$\left\{\begin{array}{l}{t}^{2}+2t-1，t≤-1\\-2，-1＜t＜1\\{t}^{2}-2t-1，t≥1\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．