Question

18．在平面直角坐标系xOy中，设直线l₁：kx-y=0，直线l₂：（2k-1）x+（k-1）y-7k+4=0．
（1）若直线l₁∥l₂，求实数k的值；
（2）求证：直线l₂过定点C，并求出点C的坐标；
（3）当k=2时，设直线l₁，l₂交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，求点A到直线BC的距离d．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用直线平行的性质能求出k．
（2）直线l₂转化为（2x+y-7）k-（x+y-4）=0，由k的系数为0，能求证明直线l₂过定点C（3，1）．
（3）当k=2时，直线l₁：2x-y=0，直线l₂：3x+y-10=0，解方程组求出A（2，4），从而求出B（2，0），再求出直线BC的方程，然后利用点A（2，4）到直线BC的距离求出d．

解答 （1）解：∵直线l₁：kx-y=0，直线l₂：（2k-1）x+（k-1）y-7k+4=0，
直线l₁∥l₂，
∴$\frac{2k-1}{k}=\frac{k-1}{-1}$，
解得k=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．
（2）证明：∵直线l₂：（2k-1）x+（k-1）y-7k+4=0，
∴（2x+y-7）k-（x+y-4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，得x=3，y=1，
∴直线l₂过定点C（3，1）．
（3）当k=2时，直线l₁：2x-y=0，直线l₂：3x+y-10=0，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{3x+y-10=0}\end{array}\right.$，得x=2，y=4，A（2，4），
过A作x轴的垂线，垂足为B，∴B（2，0），
∴直线BC的方程为：$\frac{y}{x-2}=\frac{1}{3-2}$，即x-y-2=0，
∴点A（2，4）到直线BC的距离d=$\frac{|2-4-2|}{\sqrt{1+1}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线方程中参数的求法，考查直线过定点的证明，考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质、点到直线的距离公式的合理运用．