Question

7．设数列{a_n}是等差数列，a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n$＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列．
∴${a}_{3}^{2}$=a₂•（a₄+1），
∴（2+2d）²=（2+d）（2+3d+1），
化为d²-d-2=0，
解得d=2或-1．
当d=-1时，a₃=0舍去．
∴d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）证明：b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{2}$，
∴S_n$＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．