Question

9．数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿcos$\frac{nπ}{2}$，n∈N^*，其前n项和为S_n，则S₂₀₁₆=$\frac{4}{5}$（2²⁰¹⁶-1）．

Answer 1

分析 由a_n=2ⁿcos$\frac{nπ}{2}$，n∈N^*，可得a_n=a_2k=2ⁿcoskπ=2ⁿ（-1）^k=$（-1）^{\frac{n}{2}}$•2ⁿ；a_n=a_2k-1=2ⁿ$cos\frac{（2k-1）π}{2}$=0．（k∈N^*）．可得S₂₀₁₆=a₂+a₄+…+a_2n．

解答 解：∵a_n=2ⁿcos$\frac{nπ}{2}$，n∈N^*，
∴a_n=a_2k=2ⁿcoskπ=2ⁿ（-1）^k=$（-1）^{\frac{n}{2}}$•2ⁿ；
a_n=a_2k-1=2ⁿ$cos\frac{（2k-1）π}{2}$=0．（k∈N^*）．
∴S₂₀₁₆=a₂+a₄+…+a_2n
=-2²+2⁴-…+2²⁰¹⁶
=$\frac{-4[（-4）^{1008}-1]}{-4-1}$
=$\frac{4}{5}$（2²⁰¹⁶-1）．
故答案为：$\frac{4}{5}$（2²⁰¹⁶-1）．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．