Question

14．己知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，x=-$\frac{π}{24}$为它的图象的一条对称轴．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若f（-$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$，a=3，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的最小正周期为π，可求ω，由x=-$\frac{π}{24}$为它的图象的一条对称轴．可得2×$（-\frac{π}{24}）$+φ=kπ，（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），解得φ，可得函数解析式，由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{12}$≤2kπ，解得f（x）的单调递增区间．
（2）由已知可求cos（A-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合范围$\frac{π}{12}$＜A-$\frac{π}{12}$＜$\frac{11π}{12}$，可求A，利用余弦定理及基本不等式可得：（b+c）²=9+3bc≤9+3（$\frac{b+c}{2}$）²，解得b+c≤6，当且仅当b=c=3时取等号．

解答 解：（1）∵f（x）的最小正周期为π，∴ω=2，
∵x=-$\frac{π}{24}$为它的图象的一条对称轴．
∴2×$（-\frac{π}{24}）$+φ=kπ，（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），
∴φ=$\frac{π}{12}$，
∴f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{12}$），
令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{12}$≤2kπ，解得：k$π-\frac{13π}{24}$≤x≤k$π-\frac{π}{24}$，
故函数f（x）的单调递增区间为：[k$π-\frac{13π}{24}$，k$π-\frac{π}{24}$]，k∈Z，
（2）∵f（-$\frac{A}{2}$）=2cos（A-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$，
∴cos（A-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{π}{12}$＜A-$\frac{π}{12}$＜$\frac{11π}{12}$，∴A-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，∴A=$\frac{π}{3}$，
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
∴（b+c）²=9+3bc≤9+3（$\frac{b+c}{2}$）²，
∴b+c≤6，当且仅当b=c=3时取等号，
故b+c的最大值为6．

点评 本题主要考查了余弦函数的图象和性质，考查了三角函数周期公式，余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．