Question

6．计算：
（1）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为40，当他的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？

Answer 1

分析 （1）根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=$\frac{l}{r}$求出扇形圆心角的弧度数．
（2）由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得2r+l=40，扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{4}$•l•2r，由基本不等式可得．

解答 解：（1）解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=10，
∵S_扇形=$\frac{1}{2}$lr=4，
解得：r=4，l=2
∴扇形的圆心角的弧度数是：$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；
（2）设扇形的半径和弧长分别为r和l，
由题意可得2r+l=40，
∴扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{4}$•l•2r≤$\frac{1}{4}（\frac{l+2r}{2}）$²=100．
当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号，
此时圆心角为α=$\frac{l}{r}$=2，
∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．

点评 本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，考查了基本不等式的应用以及学生的计算能力，属于基础题．