Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（其中b＞2），且y=f（sinx）的最大值为5，最小值为-1．若f（x）≥-m²+2km+1对x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用sinx的值域，结合二次函数的对称轴，运用单调性可得最值，可得b，c的方程，解方程即可得到f（x）的解析式，再求f（x）在[0，1]的最小值，再由一次函数的单调性，解不等式即可得到m的范围．

解答： 解：由条件知f（x）=x²+bx+c，x∈[-1，1]的最大值为5，最小值为-1，
而b＞2，则对称轴x=-

b

2

＜-1，[-1，1]为增区间，
则

f(-1)=-1 f(1)=5

，即

c-b+1=-1 b+c+1=5

，
解得

b=3 c=1

则f（x）=x²+3x+1．
f（x）≥-m²+2km+1对x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，
即为x²+3x+1≥-m²+2km+1对x∈[0，1]，k∈[-1，1]恒成立，
f（x）在[0，1]递增，f（0）取得最小值，且为1，
则有-m²+2km≤0恒成立，即有-m²-2m≤0且-m²+2m≤0，
则有m=0或m≥2或m≤-2．
即m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{2}．

点评：本题考查二次函数的解析式的求法，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．