Question

16．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为2，C在平面α内，B是直线l上的动点，当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先确定直线BC与动点O的位置关系，得到最大距离是AD到球心的距离+半径，再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，即可求得结论．

解答 解：由题意，直线BC与动点O的位置关系是：
点O是以BC为直径的球面上的点，
所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，
最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径=$\sqrt{2}$+1；
再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，
此时AD⊥平面OBC，且AD∥平面α，
所以投影是以AD为底，O到AD 的距离投影，
即（$\sqrt{2}$+1）cos45°=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$为高的等腰三角形，
其面积为S=$\frac{1}{2}$×2×（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了点、线、面间的距离计算问题，也考查了分析问题解答问题的能力，是综合性题目．