Question

已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．

Answer 1

【答案】分析：（I）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=|MN|，又|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，利用两点间的距离公式即可得出．
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.，．利用角平分线的性质可得k_PB=-k_QB，可化为化为8+y₁y₂=0．又直线PQ的方程为，代入化简整理为y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．
解答：解：（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，
∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴（x-4）²+y²=4²+x²，化为y²=8x．
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.，．
∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k_PB=-k_QB，
∴，∴，化为8+y₁y₂=0．
直线PQ的方程为，
∴，化为，
化为，
y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，则x=1，
∴直线PQ过 定点（1，0）
点评：本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．