Question

（2013•陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．

Answer 1

分析：（I）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=

1

2

|MN|，又|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，利用两点间的距离公式即可得出．
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.

y

2 1

=8x1，

y

2 2

=8x2．利用角平分线的性质可得k_PB=-k_QB，可化为化为8+y₁y₂=0．又直线PQ的方程为y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，代入化简整理为y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．

解答：解：（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=

1

2

|MN|，
∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴（x-4）²+y²=4²+x²，化为y²=8x．
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.

y

2 1

=8x1，

y

2 2

=8x2．
∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k_PB=-k_QB，
∴

y1

x1+1

=-

y2

x2+1

，∴

y1

y 2 1 8 +1

=

-y2

y 2 2 8 +1

，化为8+y₁y₂=0．
直线PQ的方程为y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
∴y-y1=

y2-y1

y 2 2 8 - y 2 1 8

(x-x1)，化为y-y1=

8

y2+y1

(x-

y 2 1

8

)，
化为y(y2+y1)-y1(y2+y1)=8x-

y

2 1

，
y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，则x=1，
∴直线PQ过 定点（1，0）

点评：本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．