Question

12．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，E为BC中点．
（Ⅰ）求证：C₁D⊥D₁E；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点M使得BM∥平面AD₁E？若存在，求$\frac{AM}{A{A}_{1}}$的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若二面角B₁-AE-D₁的大小为90°，求AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明C₁D⊥D₁E．
（Ⅱ）先求出平面AED₁的法向量，由此能求出棱AA₁上存在一点M使得BM∥平面AD₁E，并能求出$\frac{AM}{A{A}_{1}}$的值．
（Ⅲ）求出平面AEB₁ 的法向量和平面AED₁的法向量，利用向量法能求出AD的长．

解答 证明：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD=2t，（t＞0），则C₁（0，1，1），D（0，0，0），D₁（0，0，1），E（t，1，0），
$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（t，1，-1），
$\overrightarrow{{C}_{1}D}$•$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=0-1+1=0，
∴C₁D⊥D₁E．
解：（Ⅱ）在棱AA₁上存在一点M使得BM∥平面AD₁E，
理由如下：
设M（2t，0，λ），0≤λ≤1，B（2t，1，0），A（2t，0，0），E（t，1，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{BM}$=（0，-1，λ），$\overrightarrow{AE}$=（-t，1，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2t，0，1），
设平面AED₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-tx+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-2tx+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，t，2t），
∵BM∥平面AD₁E，∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}$=-t+2tλ=0，解得$λ=\frac{1}{2}$．
∴棱AA₁上存在一点M使得BM∥平面AD₁E，$\frac{AM}{A{A}_{1}}$的值为$\frac{\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）B₁=（2t，1，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），
设平面AEB₁ 的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=-ta+b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=b+c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{1}{t}$，1，-1），
平面AED₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，t，2t），
∵二面角B₁-AE-D₁的大小为90°，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{t}$+t-2t=0，
由t＞0，解得t=1，
∴AD的长为2．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线段比值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．