Question

6．已知m≥0，满足条件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ y≤mx-m\end{array}\right.$的目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围是[0，1）．

Answer 1

分析 根据m≥0，我们可以判断直线y=mx-m的倾斜角位于区间（0，$\frac{π}{2}$）上，由此我们不难判断出满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ y≤mx-m\end{array}\right.$的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx-m垂直，分析z取最大值的位置，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m 的取值范围．

解答 解：当0＜m＜1，满足条件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ y≤mx-m\end{array}\right.$的区域如图，

当直线z=x+my经过A时，z最大，解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=mx-m}\end{array}\right.$得到A（$\frac{m}{m-1}$，$\frac{m}{m-1}$），
此时z最大值为$\frac{m}{m-1}+\frac{{m}^{2}}{m-1}$＜2，解得m∈R，
所以0＜m＜1满足题意；
当m=0时，符合题意；
当m=1时，不满足题意；
当m＞1，此时x，y对应的区域如图

当直线z=x+my经过A时，z最大，解$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{y=mx-m}\end{array}\right.$得到A（$\frac{m+4}{m+1}$，$\frac{3m}{m+1}$），
z的最大值为$\frac{m+4}{m+1}+\frac{3{m}^{2}}{m+1}=\frac{3{m}^{2}+m+4}{m+1}$＜2，解得不等式解集为∅，
所以m＞1不满足题意；
综上满足条件的m的范围是[0，1）；
故答案为：[0，1）．

点评 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx-m垂直，分析z取得最大值的位置，并由此构造出关于m的不等式组．