Question

16．已知a+2b+3c=1，a＞0，b＞0，c＞0，求c²+ac+bc+ab的最大值．

Answer 1

分析 根据题意和基本不等式可得：c²+ac+bc+ab=（a+c）（b+c）≤${（\frac{a+c+b+c}{2}）}^{2}$，由条件和等号成立的条件求值即可．

解答 解：∵a，b，c都是正数，
∴c²+ac+bc+ab=（a+c）（b+c）≤${（\frac{a+c+b+c}{2}）}^{2}$=${（\frac{a+b+2c}{2}）}^{2}$，
当且仅当a+c=b+c即a=b时取等号，
∵a+2b+3c=1，∴a+c=$\frac{1}{3}$，则${（\frac{a+b+2c}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{9}$，
∴c²+ac+bc+ab≤$\frac{1}{9}$，
则c²+ac+bc+ab的最大值是$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查利用基本不等式求最值问题，正确因式分解是关键，属于基础题．