Question

5．在等差数列{a_n}中，已知a₁=20，前n项和为S_n，且S₁₀=S₁₅，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求当n取何值时，S_n取得最大值，并求它的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据条件求出等差数列的公差即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据{a_n}的通项公式；由a_n≥0，解得n≤13，即可得到结论．

解答 （1）∵a₁=20，S₁₀=S₁₅
∴10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=15a₁+$\frac{15×14}{2}$d，
即12d=-a₁=-20．
∴d=-$\frac{5}{3}$，
∴a_n=20-$\frac{5}{3}$（n-1）=-$\frac{5}{3}$n+$\frac{65}{3}$．
（2）∵a₁=20＞0，d=-$\frac{5}{3}$＜0
∴数列{a_n}为递减数列
由a_n=-$\frac{5}{3}$n+$\frac{65}{3}$≥0得n≤13，即a₁₃=0，
∴（S_n）_max=S₁₂=S₁₃=$\frac{13（20+0）}{2}$=130

点评 本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，根据方程关系求出公差是解决本题的关键．