Question

已知函数f(x)=x3-

1

2

x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意得f（x）在x=1处取得极值所以f′（1）=3-1+b=0所以b=-2．
（2）把原不等式等价转化为：x3-

1

2

x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立，设g（x）=x3-

1

2

x2-2x则g′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），利用导数求函数的最大值即g（x）的最大值为g（2）=2，则有c²-c＞2，解得：c＞2或c＜-1．

解答：解：（1）由题意得f′（x）=3x²-x+b
∵f（x）在x=1处取得极值
∴f′（1）=3-1+b=0
∴b=-2
所以b的值是-2．
（2）由（1）得f′（x）=3x²-x-2
∵当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立
∴x3-

1

2

x2-2x+c＜c2在[-1，2]上恒成立，
即x3-

1

2

x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立．
设g（x）=x3-

1

2

x2-2x则g′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
当x∈（-1，-

2

3

）时，g′（x）＞0
当x∈（-

2

3

，1）时，g′（x）＜0
当x∈（1，2）时，g′（x）＞0
所以，当x=-

2

3

时，g（x）取得极大值为g（-

2

3

）=

22

27

又因为g（2）=2
所以在[-1，2]上g（x）的最大值为g（2）=2
则有c²-c＞2，解得：c＞2或c＜-1
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评：解决此类问题的关键是将不等式在某个区间上恒成立问题转化为函数在该区间上的最值问题，分离参数是解决此类问题较好的一种方法．