Question

2．观察以下各式：cos6°cos54°cos66°=$\frac{1}{4}$cos18°，cos19°cos41°cos79°=$\frac{1}{4}$cos57°，cos27°cos33°cos87°=$\frac{1}{4}$cos81°．
（1）分析上述各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式；
（2）证明你写出的等式．

Answer 1

分析 （1）利用条件，可得一般规律的等式；
（2）利用和差的余弦公式，结合二倍角公式证明等式．

解答 解：（1）由题意，cosαcos（60°-α）cos（60°+α）=$\frac{1}{4}$cos3α．
（2）左边=cosα（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）（$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）=$\frac{1}{4}cosα$（cos²α-$\frac{3}{4}$sin²α）
右边=$\frac{1}{4}cosα$cos2α+$\frac{1}{4}$sinαsin2α=$\frac{1}{4}cosα$（cos²α-sin²α+$\frac{1}{4}$sin²α）=$\frac{1}{4}cosα$（cos²α-$\frac{3}{4}$sin²α）．
∴cosαcos（60°-α）cos（60°+α）=$\frac{1}{4}$cos3α．

点评 本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，着重考查了类比的能力．