Question

已知a，b为异面直线，则下列命题中正确的是（　　）

• A、过a，b外一点P一定可以引一条与a，b都平行的直线
• B、过a，b外一点P一定可以作一个与a，b都平行的平面
• C、过a一定可以作一个与b平行的平面
• D、过a一定可以作一个与b垂直的平面

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：A用反证法说明a，b为异面直线时，过a，b外一点P引一条直线l与a，b不能都平行；
B当a、b为异面直线时，过两直线外一点p作平面，该平面可能与a、b都平行，这样的平面也可能不存在；
C当a、b为异面直线时，过a作与b平行的平面有且只有一个；
D当a、b为异面直线时，过a作一个平面可能与b垂直，也可能与b不垂直．

解答： 解：对于A，当a，b为异面直线，假设过a，b外一点P引一条直线l与a，b都平行，
即l∥a，l∥b，∴a∥b，这与a、b是异面直线矛盾，∴假设不成立，即A错误；
对于B，∵a、b为异面直线，∴a、b 不平行，
∴过p做a的平行线有且只有一条，设为c，过p做b的平行线有且只有一条设为d，
则a、b的平行线只能组成一个平面，设为平面A；
①如果c恰好和b相交 或者 d与a相交，即当a或者b正好在A平面内时，过P且与a、b都平行的平面不存在；
②如果c不与b相交 或者 d不与a相交，过P且与a、b都平行的平面有且只有一个；∴B错误；
对于C，∵a、b为异面直线，∴a、b 不平行，在a上任取一点P，过点P作直线c∥b，c是唯一的，
又a∩c=P，∴由a、c确定的平面α也是唯一的，∴b∥α，∴C正确；
对于D，∵a、b为异面直线，但a与b不一定垂直，
∴过a作一个平面可能与b垂直，也可能与b平行，∴D错误．
故选：C．

点评：本题考查了空间中的位置关系的应用问题．考查了异面直线的概念与应用问题，也考查了空间中的平行与垂直的判断问题，是综合题目．