Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且平面，，M，N分别为，的中点.

（1）记平面与底面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并证明.

（2）点Q在棱上，若Q到平面的距离为，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）直线平面，证明见解析.（2）.

【解析】

（1）连接，可由线面平行判定定理证明平面，再由线面平行性质及平行线的传递性证明直线与平面平行即可.

（2）以A为原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并设，，结合坐标运算可用表示的坐标，并求得平面的法向量.根据条件及点到平面距离的向量求法，即可确定的值，进而求得线段的长.

（1）直线与平面平行，证明如下：

连接，如下图所示：

M，N分别为，的中点，

则由中位线定理可得，

因为平面，平面，

所以平面，

平面与底面的交线为，

由线面平行的性质可得，

又因为，

则由平行线传递性可得

因为，且平面，平面，

所以直线平面.

（2）根据题意，以A为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：

则设，，（），

所以

解得，所以

则由中点坐标公式可得，

则

设平面的法向量为，

则，即

所以，令，代入解得.

即

而，

所以Q到平面的距离，

解得，因为，

所以.

所以