Question

【题目】某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A、B两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A品牌的销售利润y1与投入资金x成正比，其关系如图1所示，B品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．

（1）分别将A、B两个品牌的销售利润y1、y2表示为投入资金x的函数关系式；
（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A、B两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？

Answer 1

【答案】
（1）解：因为A品牌的销售利润y1与投入资金x成正比，

设y1=k1x（x＞0），

又过点（2，0.5），解得 ，

所以 ；

B品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方根成正比，

设y2=k2 （x＞0），又过点（4，1.5），即有1.5=2k2，

解得k2= ，

所以y2= （x＞0）

（2）解：设总利润为y，投入B品牌为x万元，则投入A品牌为（5﹣x）万元，

则 ，

令 ，

则 = ，

当 时，即 时，投入A品牌为： ， ．

答：投入A品牌 万元、B品牌 万元时，经销该种商品获得最大利润，最大利润为 万元．

【解析】（1）设y1=k1x（x＞0），y2=k2 （x＞0），分别代入点（2，0.5）和（4，1.5），解方程即可得到所求函数的解析式；（2）设总利润为y，投入B品牌为x万元，则投入A品牌为（5﹣x）万元，则 ，令 ，运用二次函数在闭区间上最值的求法，可得y的最大值．