Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上两点P、Q在x轴上的射影分别为椭圆的左、右焦点，且P、Q两点的连线的斜率为

2

2

．
（1）求椭圆的离心率e的大小；
（2）若以PQ为直径的圆与直线x+y+6=0相切，求椭圆C的标准方程；
（3）设点M（0，3）在椭圆内部，若椭圆C上的点到点M的最远距离不大于5

2

，求椭圆C的短轴长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设出P、Q两点的坐标，利用P、Q在x轴上的射影分别为椭圆的左、右焦点，且P、Q两点的连线的斜率为

2

2

．即可求椭圆的离心率e的大小；
（2）先求出以PQ为直径的圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出b值即可求椭圆C的标准方程；
（3）先利用点M（0，3）在椭圆内部求出b的一个范围，再利用两点间的距离公式以及最远距离不大于5

2

，求出b的另一个范围，两个相综合可得椭圆C的短轴长的取值范围．

解答：解：（1）设点（-c，-y₀），Q（c，y₀），其中y₀＞0，∵点P在椭圆C上，
∴

c2

a2

+

y02

b2

=1，y02=

b4

a2

，y0=±

b2

a

，
∴P(-c，-

b2

a

)，Q(c，

b2

a

)，∴kPQ=

2 b2 a

2c

=

b2

ac

．∴

b2

ac

=

2

2

，

2

(a2-c2)=ac，
从而

2

(1-e2)=e，解得e=

2

2

，e=-

2

（舍去）．
（2）由（1）知，a=

2

b，c=b，∴P(-b，-

b

2

)，
∴以PQ为直径的圆的方程为x2+y2=

3

2

b2．
∵该圆与直线x+y+6=0相切，∴

6

2

=

6

2

b，即b=2

3

，∴b2=12，a2=24．
∴椭圆的标准方程为

x2

24

+

y2

12

=1．
（3）由（1）知，a=

2

b，c=b，故椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，∵点M(0，3)在椭圆内部，
∴b＞3．
设N（x，y）为椭圆上任意一点，则MN²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，其中-b≤y≤b．∵b＞3，
∴-b＜-3，∴当y=-3时，MN²取得最大值2b²+18．
依题意：MN≤5

2

，∴MN²≤50，∴2b²+18≤50，∴0＜b≤4，又b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8．
∴椭圆C的短轴长的取值范围是（6，8]．

点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．本题用的是方法一．