Question

2．已知函数f（x）=|x-1|-|3x-a|
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最大值
（Ⅱ）当x∈（-∞，1）时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，分类讨论化简函数的解析式，利用单调性求得函数的最大值．
（Ⅱ）由题意可得1-x＜|3x-a|恒成立，求得x＞$\frac{a+1}{4}$ 或x＜$\frac{a-1}{2}$．再结合（-∞，1）⊆（-∞，$\frac{a-1}{2}$）∪（$\frac{a+1}{4}$，+∞），可得$\frac{a-1}{2}$＞1，由此求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=|x-1|-|3x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x＜\frac{1}{3}}\\{-4x+2，\frac{1}{3}≤x＜1}\\{-2x，x≥1}\end{array}\right.$，
故函数f（x）的最大值为f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）当x∈（-∞，1）时，不等式f（x）＜0恒成立，等价于1-x-|3x-a|＜0恒成立，
等价于 1-x＜|3x-a|恒成立，
∴3x-a＞1-x，或 3x-a＜x-1，
即 x＞$\frac{a+1}{4}$ 或x＜$\frac{a-1}{2}$．
再结合（-∞，1）⊆（-∞，$\frac{a-1}{2}$）∪（$\frac{a+1}{4}$，+∞），
可得$\frac{a-1}{2}$＞1，
∴a≥3．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．