Question

1．设函数$f（x）=\frac{x}{{{e^{2x}}}}$（e=2.71828是自然对数的底数）．
（1）f（x）的单调区间、最大值；
（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）+c根的个数．

Answer 1

分析 （1）求出${f^'}（x）=\frac{{（1-2x）{e^{2x}}}}{{{{（{e^{2x}}）}^2}}}=（1-2x）{e^{-2x}}$，利用导数性质能求出f（x）的单调区间、最大值．
（2）设$g（x）=\frac{x}{{{e^{2x}}}}+c$，h（x）=|lnx|，由${g}^{'}（x）=\frac{1-2x}{{e}^{2x}}$，由此根据c＞0，c=0，c＜0三种情况进行分类讨论，能求出关于x的方程|lnx|=f（x）+c根的个数．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=\frac{x}{{{e^{2x}}}}$，
∴${f^'}（x）=\frac{{（1-2x）{e^{2x}}}}{{{{（{e^{2x}}）}^2}}}=（1-2x）{e^{-2x}}$，
∴$x∈（-∞，\frac{1}{2}）$时，函数f（x）单调递增，$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$时，函数f（x）单调递减，
∴$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2e}$．
（2）设$g（x）=\frac{x}{{{e^{2x}}}}+c$，
①当c＞0时，令${g^'}（x）=\frac{1-2x}{{{e^{2x}}}}=0⇒x=\frac{1}{2}$，
当$x∈（0，\frac{1}{2}）$时，g′（x）＞0；当$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$时，g′（x）＜0；
∴g（x）在$x=\frac{1}{2}$处取极大值$g（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2e}+c$，
设h（x）=|lnx|
∵自然对数lnx在x＞0上单调增，0＜x＜1时，lnx＜0，x≥1时，lnx≥0，
∴0＜x＜1时，h（x）＞0，单调减，x≥1时，h（x）≥0，单调增，
∴h（x）图象与g（x）图象必存在二个交点，即方程|lnx|=g（x）必有二个根；
②当c=0时，
∵方程|lnx|=g（x），
设H（x）=|lnx|-g（x），
写成分段函数：$H（x）=-lnx-\frac{x}{{{e^{2x}}}}-c$，（0＜x＜1）$H（x）=lnx-\frac{x}{{{e^{2x}}}}-c$，（x≥1）
当0＜x＜1时，${H^'}（x）=-\frac{1}{x}-\frac{1-2x}{{{e^{2x}}}}＜0$，∴h（x）单调减；$H（\frac{1}{2}）=ln2-\frac{1}{2e}＞0$，$h（1）=-\frac{1}{e^2}＜0$，
∴在区间$[\frac{1}{2}，1]$一必有一个实根；
当x≥1时，${H^'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1-2x}{{{e^{2x}}}}＞0$，∴h（x）单调增；$H（2）=ln2-\frac{2}{e^4}＞0$，
∴在区间[1，2]一必有一个实根，
∴当c=0时，h（x）必有二个实根，即方程|lnx|=g（x）必有二个根，③
③当c＜0时，
令$g（1）=\frac{1}{e^2}+c=0⇒c=-\frac{1}{e^2}$，
∴$c=-\frac{1}{e^2}$时，h（x）图象与g（x）图象必存在在一个交点，即方程|lnx|=g（x）必有一个根，
综上：当$c＞-\frac{1}{e^2}$时，方程|lnx|=g（x）必有二个根；
当$c=-\frac{1}{e^2}$时，方程|lnx|=g（x）必有一个根；
当$c＜-\frac{1}{e^2}$时，方程|lnx|=g（x）无实根．

点评 本题考查函数的单调区间、最大值的求法，考查方程的根的个数的求不地，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．