Question

已知已知△ABC的周长是

3

+1，且sinA+sinB=

3

sinC，S_△ABC=

3

8

sinC，则cosC=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：根据已知周长表示出a+b+c=

3

+1，已知等式利用正弦定理化简得到关系式，代入a+b+c=

3

+1求出c的值，将得出关系式两边平方得到关系式①，利用三角形面积公式列出关系式，求出ab=

3

4

②，②代入①求出a²+b²的值，利用余弦定理表示出cosC，把各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：由△ABC周长为

3

+1，得到a+b+c=

3

+1，即

3

c+c=

3

+1，
解得：c=1，
已知等式sinA+sinB=

3

sinC，利用正弦定理化简得：a+b=

3

c，
两边平方得：a²+b²+2ab=3c²，①
∵S_△ABC=

3

8

sinC，且S_△ABC=

1

2

absinC，
∴ab=

3

4

，②
②代入①得：a²+b²+

3

2

=3，即a²+b²=

3

2

，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

3

，
故答案为：

1

3

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．