Question

已知M（0，-2），点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线AB上，且满足

AP

=

PB

，

MA

•

AP

=0．
（1）当A点在x轴上移动时，求动点P的轨迹C的方程；
（2）过（-2，0）的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l₁、l₂，当l₁⊥l₂时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B），y_B＞0．则

AP

=（x-x_A，y），

PB

=（-x，y_B-y）．由

AP

=

PB

，得x_A=2x，y_B=2y．由

MA

•

AP

=0得到动点P的轨迹C的方程．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），因为y′=2x，故两切线的斜率分别为2x₁、2x₂．由方程组

x2=y y=k(x+2)

得x²-kx-2k=0，然后由根与系数的关系能够导出直线l的方程．

解答：解：（1）设P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B），y_B＞0．则

AP

=（x-x_A，y），

PB

=（-x，y_B-y）．
由

AP

=

PB

，得

x-xA=-x y=yB-y

即x_A=2x，y_B=2y．
又

MA

=（x_A，2），

AP

=（x-x_A，y），
∴

MA

=（2x，2），

AP

=（-x，y）．
由

MA

•

AP

=0得x²=y（y≥0）．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
因为y′=2x，故两切线的斜率分别为2x₁、2x₂．
由方程组

x2=y y=k(x+2)

得x²-kx-2k=0，
x₁+x₂=k，x₁x₂=-2k．
当l₁⊥l₂时，4x₁x₂=-1，所以k=

1

8

．
所以，直线l的方程是y=

1

8

（x+2）．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意挖掘隐含条件，根据实际情况注意公式的灵活运用．