Question

点P是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上的一点，F₁，F₂是焦点，且∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积是（　　）

• A、

  4 3

  3

• B、4

  3

• C、

  4

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：根据椭圆的方程算出|F₁F₂|=2

5

，由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=6．然后在△F₁PF₂中，利用余弦定理算出|PF₁|•|PF₂|=

16

3

，再利用三角形的面积公式加以计算，可得△F₁PF₂的面积．

解答：解：椭圆

x2

9

+

y2

4

=1中，a=3，b=2，
∴c=

a2-b2

=

5

，可得焦点为F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0）．
由椭圆的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，
∴根据余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，
即（2

5

）²=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁|•|PF₂|，可得20=36-3|PF₁|•|PF₂|，
由此解得|PF₁|•|PF₂|=

16

3

，
∴△F₁PF₂的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin60°=

4 3

3

．
故选：A

点评：本题给出椭圆上一点P满足的条件，求点P与两个焦点构成三角形的面积．着重考查了椭圆的定义与简单性质、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．