Question

18．一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M，N分别是AF，BC的中点）
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积．

Answer 1

分析 由三视图可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，四边形ABCD是边长为2的正方形，底面ABFE是边长为2的正方形，M，N分别为AF，BC的中点．
（1）取BF的中点P，连接MP，NP．又M，N分别为AF，BC的中点．利用三角形中位线定理、面面平行的判定定理可得：平面MNP∥平面CDEF，即可证明MN∥平面CDEF．
（2）作AQ⊥DE，垂足为Q，利用线面垂直的判定与性质定理可得：AQ⊥平面CDEF．即可得出多面体A-CDEF的体积．

解答 解：由三视图可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE．
四边形ABCD是边长为2的正方形，底面ABFE是边长为2的正方形，M，N分别为AF，BC的中点．
（1）证明：取BF的中点P，连接MP，NP．
又M，N分别为AF，BC的中点．
∴NP∥CF，MP∥AB，
又AB∥EF，
可得MP∥EF．
又MP∩NP=P，MP?平面CDEF，NP?平面CDEF．
∴平面MNP∥平面CDEF；
∴MN∥平面CDEF．
（2）解：作AQ⊥DE，垂足为Q，
∵AD⊥平面ABFE，∴AD⊥EF．
又FE⊥AE，AD∩AE，
∴FE⊥平面ADE，
∴FE⊥AQ，
∴AQ⊥平面CDEF．
∵S_{四边形CDEF}=EF•DE=4×$2\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$．
∴AQ=$\frac{4×4}{4\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴V_A-CDEF=$\frac{1}{3}×4×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{64}{3}$．

点评 本题考查了线面面面平行与垂直的判定及其性质定理、二面角、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．