Question

10．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是线段C₁D₁，A₁B₁上的点且C₁E=A₁F=$\frac{1}{3}$A₁B₁，则直线BE与DF所成角的余弦值是$\frac{1}{19}$．

Answer 1

分析 分别以边D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可设正方体的边长为1，根据条件可确定B，E，D，F四点的坐标，从而得到向量$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{DF}$的坐标，根据向量夹角余弦的坐标公式即可求出$cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{DF}＞$，从而得出异面直线BE，DF所成角的余弦值．

解答 解：如图，
以D₁A₁，D₁C₁，D₁D三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则：
B（1，1，1），E（$0，\frac{2}{3}，0$），D（0，0，1），F（1，$\frac{1}{3}$，0）；
∴$\overrightarrow{BE}=（-1，-\frac{1}{3}，-1）$，$\overrightarrow{DF}=（1，\frac{1}{3}，-1）$；
∴cos$＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{DF}＞$=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{DF}|}=\frac{-\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}+1}=-\frac{1}{19}$；
∴直线BE与DF所成角的余弦值是$\frac{1}{19}$．
故答案为：$\frac{1}{19}$．

点评 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题的方法，能求空间点的坐标，以及由点的坐标求向量坐标，向量夹角余弦的坐标公式，弄清两异面直线所成角和这两直线的方向向量的夹角的关系．