Question

5．设命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）定义域为R；命题q：不等式3^x-9^x＜a对任意x∈R恒成立．
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的范围，得到不等式组，解出即可；（2）分别求出p，q真时的a的范围，再根据p真q假或p假q真得到不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由题意ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0 对任意x∈R恒成立，
当a=0时，不符题意，舍去；
当a≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4a•\frac{1}{16}a＜0}\end{array}\right.$⇒a＞2，
所以实数a的取值范围是a＞2．
（2）设t=3^x（t＞0），g（t）=-t²+t=-${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，
g（t）_max=$\frac{1}{4}$，
当q为真命题时，有a＞$\frac{1}{4}$，
∵命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，
∴p与q一个为真，一个为假，
当p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，无解，
当p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$⇒$\frac{1}{4}$＜a≤2，
综上，实数a的取值范围是：$\frac{1}{4}$＜a≤2．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查对数函数、指数函数的性质，是一道基础题．