Question

14．已知f（x）=$\frac{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）}{2sin（x+π）-cosx}$
（1）若tanx=$\frac{1}{2}$，计算f（x）的值；
（2）若f（x）＞1，求tanx的范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的自习室以及诱导公式化简已知条件，通过正切函数值求解．
（2）利用函数的函数的表达式，通过分式不等式求解即可．

解答 解：（1）tanx=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）}{2sin（x+π）-cosx}$=$\frac{sinx-cosx}{-2sinx-cosx}$=$\frac{tanx-1}{-2tanx-1}$=$\frac{\frac{1}{2}-1}{-2×\frac{1}{2}-1}$=$\frac{1}{4}$．
（2）f（x）=$\frac{tanx-1}{-2tanx-1}$，f（x）＞1，
可得$\frac{tanx-1}{-2tanx-1}＞1$，即$\frac{tanx-1}{-2tanx-1}-1＞0$，即$\frac{3tanx}{-2tanx-1}＞0$
解得tanx∈（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，分式不等式的解法，考查计算能力．