Question

如图所示，菱形ABCD的边长为

3

，∠ABC=60°，点P为对角线BD上任意一点，则

BP

•（

PA

-

PC

）=

 

；

BP

•（

PA

+

PC

）的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：利用菱形的几何性质可知，线段BP所在直线与AC垂直，再结合减法几何意义，容易得第（1）结果为0；第（2）问涉及到了范围的计算问题，又菱形具有建系的充分条件，因此利用建系把问题变成坐标运算问题，最终转化为函数的值域问题．

解答： 解：∵菱形ABCD，∴对角线CA⊥BD，又

PA

-

PC

=

CA

，且点P为对角线BD上任意一点，
∴

BP

∥

BD

∴

BP

⊥

CA

，∴

BP

•

CA

=0，∴

BP

•（

PA

-

PC

）=0；
对于第二问：
如图建立坐标系，∵菱形ABCD的边长为

3

，∠ABC=60°∴∠ADO=30°，∴|

OD

|=

3

cos30°=

3

2

，|

OA

|=

3

sin30°=

3

2

，
∴B(-

3

2

，0)，D(

3

2

，0)，设P（x，0）则由已知得 -

3

2

≤x≤

3

2

，由菱形的性质，

PA

+

PC

=2

PO

=(-2x，0)，而

BP

=(x+

3

2

，0)，
∴

BP

•(

PA

+

PC

)=

BP

•2

PO

=(x+

3

2

，0)•(-2x，0)=-2x2-3x=-2(x+

3

4

)2+

9

8

，
又∵-

3

2

≤x≤

3

2

，该函数在[-

3

2

，-

3

4

]上递增，在(-

3

4

，

3

2

]上递减，
所以当x=

3

2

时，取得最小值-9；当x=-

3

4

时，取得最大值

9

8

，所以所求的取值范围是[-9，

9

8

]．
故答案为0，[-9，

9

8

]

点评：将菱形的几何性质和向量加法、减法、数乘及内积运算的几何意义结合起来，才能有效的解决问题．这个题建系后要注意引入的变量x的范围．