Question

给出下列四个命题：
（1）“cosα=-

3

2

”是“α=2kπ+

5π

6

，k∈Z”的必要不充分条件；
（2）终边在y轴上的角的集合是{a|a=

kπ

2

，k∈Z}．
（3）函数y=sin（2x-

π

3

）的一个单调增区间是[-

π

12

，

5π

12

]；
（4）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是f′（0）=0；
（5）为得到函数y=cos（2x+

π

3

）的图象，只需将函数y=sin2x的图象向左平移

5π

12

个长度单位．
其中真命题的序号是

 

（把所有真命题的序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）解出cosα=-

3

2

，再由充分必要条件的定义即可判断；
（2）求出终边在y轴上的角的集合，注意分正半轴和负半轴，再合并，即可判断；
（3）运用正弦函数的单调增区间，求出x的范围，再令k，即可判断；
（4）根据偶函数的定义，化简三角函数式，得到cosφ=0，再求出函数的导数，求出f′（0）=0则cosφ=0，从而加以判断；
（5）根据三角函数的图象平移规律，向左右平移，是针对自变量x而言，必须提取系数，然后运用诱导公式，即可判断．

解答： 解：（1）由cosα=-

3

2

得α=2kπ+

5π

6

或2kπ+

7π

6

，k∈Z，故“cosα=-

3

2

”是“α=2kπ+

5π

6

，k∈Z”的必要不充分条件，故（1）正确；
（2）终边在y轴上的角的集合为{α|α=2kπ+

π

2

或2kπ+

3π

2

，k∈Z}={α|α=kπ+

π

2

，k∈Z}，故（2）错；
（3）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，则kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，则函数y=sin（2x-

π

3

）的单调增区间是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z，当k=0时，即为区间[-

π

12

，

5π

12

]，故（3）正确；
（4）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数，有f（-x）=f（x），即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），化简得cosφ=0，又f′（x）=ωcos（ωx+φ），若f′（0）=0则cosφ=0，故f（x）是偶函数的充要条件是f′（0）=0，即（4）正确；
（5）将函数y=sin2x的图象向左平移

5π

12

个长度单位，得到函数y=sin2（x+

5π

12

）即y=sin（2x+

π

2

+

π

3

），即y=cos（2x+

π

3

），故（5）正确．
故答案为：（1）（3）（4）（5）．

点评：本题以命题的真假判断为载体，主要考查三角函数的图象与性质，记熟三角函数的单调区间，图象变换规律是解决该类题的关键．