Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，A＞0，φ∈（0，

π

2

））的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知α∈（π，

3π

2

），且f（

α

2

-

5π

12

）=

6

5

，求f（

α

2

）．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由图象可得A=2，由周期可得ω，代点可解φ，可得解析式；（Ⅱ）由题意易得cosα=-

3

5

，可得sinα=-

4

5

，而f（

α

2

）=sinα+

3

cosα，代入化简即可．

解答： 解：（Ⅰ）由图象结合题意可知A=2，又图象过点（-

π

6

，0）和（

π

12

，2）
∴

1

4

•

2π

ω

=

π

12

-（-

π

6

），解得ω=2，
∴2sin（-

π

6

×2+φ）=0，结合φ∈（0，

π

2

）可得φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（

α

2

-

5π

12

）=2sin（α-

π

2

）=

6

5

，
∴sin（α-

π

2

）=-cosα=

3

5

，∴cosα=-

3

5

，
又∵α∈（π，

3π

2

），∴sinα=-

4

5

，
∴f（

α

2

）=2sin（α+

π

3

）=sinα+

3

cosα
=-

4

5

-

3

5

3

=-

4+3 3

5

．

点评：本题考查三角函数解析式的求解，涉及三角函数公式的应用，属中档题．