Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）设

bn= 2n anan+1

，求证：数列{b_n}的前n项和Sn＜

1

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的定义，利用构造法即可证明数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用裂项法即可求出数列{b_n}的前n项和S_n，即可证明不等式．

解答： 解：（1）∵a₁=3，a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2a_n-2=2（a_n-1），
即

an+1-1

an-1

=2，故数列{a_n-1}是等比数列．
（2）由（1）知数列{a_n-1}是等比数列，首项为a₁-1=3-1=2，公比q=2，
则a_n-1=2•2^n-1=2ⁿ，则a_n=1+2ⁿ，
则

bn= 2n anan+1

=

2n

(1+2n)(1+2n+1)

=

1+2n+1-(1+2n)

(1+2n)(1+2n+1)

=

1

1+2n

-

1

1+2n+1

，
则数列{b_n}的前n项和S_n=

1

1+2

-

1

1+22

+

1

1+22

-

1

1+23

+…+

1

1+2n

-

1

1+2n+1

=

1

3

-

1

1+2n+1

＜

1

3

，
即Sn＜

1

3

成立．

点评：本题主要考查等比数列的证明，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．要求熟练掌握裂项技巧．