Question

已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x³＋ax²－x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）（2）[－2，＋∞)

(1)f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)<0，得0<x<，所以f(x)的单调递减区间是.令f′(x)>0得x>，所以f(x)的单调递增区间是.
(2)由题意得：2xln x≤3x²＋2ax－1＋2，即2xln x≤3x²＋2ax＋1，
又x∈(0，＋∞)，∴a≥ln x－x－.
设h(x)＝ln x－x－.，则h′(x)＝－＋＝－.
令h′(x)＝0得x＝1或－ (舍)，
当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0 ，所以当x＝1时，h(x)取得最大值，h(x)_max＝－2，所以a≥－2，所以a的取值范围是[－2，＋∞)．