Question

已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x³＋x² (f′(x)是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；
(3)求证：×…×< (n≥2，n∈N^*)

Answer 1

（1）单调增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)．（2）不是，（3）见解析

(1)解　当a＝－1时，f′(x)＝ (x>0)
令f′(x)>0，得x∈(1，＋∞)；
令f′(x)<0，得x∈(0,1)．
∴函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)．
(2)解　∵f′(x)＝ (x>0)，∴f′(2)＝－＝1得a＝－2，∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，g(x)＝x³＋x²－2x，∴g′(x)＝3x²＋(m＋4)x－2，∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，∴
由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′t<0恒成立，
所以，∴－<m<－9.
故m的取值范围是.
(3)证明　由(1)知当x∈(1，＋∞)时f(x)>f(1)，即－ln x＋x－1>0，∴0<ln x<x－1对一切x∈(1，＋∞)成立．
∵n≥2，n∈N^*，则有0<ln n<n－1，∴0<.
∴ (n≥2，n∈N^*)．