Question

已知函数f(x)＝－aln x＋＋x(a≠0)，
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．

Answer 1

（1）a＝－（2）当a<0时，函数f(x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增

由已知得，f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝－－＋1(x>0)．
(1)根据题意，有f′(1)＝－2，∴－a－2a²＋1＝－2，即2a²＋a－3＝0.解得a＝1，或a＝－.
(2)∵f′(x)＝－－＋1＝ (x>0)．
①当a>0时，由f′(x)>0，及x>0得x>2a；
由f′(x)<0，及x>0得0<x<2a.
∴当a>0时，函数f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，
在(0,2a)上单调递减．
②当a<0时，由f′(x)>0，及x>0得x>－a；
由f′(x)<0，及x>0得0<x<－a.
∴当a<0时，函数f(x)在(0，－a)上单调递减，
在(－a，＋∞)上单调递增．