Question

（本小题满分12分）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设与平面所成的角为，

求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）见解析；（II）二面角C-AD-E的余弦值为。

【解析】本试题主要是考查了线线垂直的证明以及二面角的大小的求解的综合运用。

（1I)作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且OBC

中点，由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，

从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD，

由三垂线定理知，AD⊥CE

（II）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧

面ABC。

作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，

∠CEF=45°，由CE=，得CF=

又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形作CG⊥AD，垂足为G，连GE。

由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C，

故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。

进而解得。

解法一：(I)作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且OBC

中点，由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD，

由三垂线定理知，AD⊥CE--------------------------------4分

（II）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧

面ABC。

作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，

∠CEF=45°，由CE=，得CF=

又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形作CG⊥AD，垂足为G，连GE。

由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C，

故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。

CG=

GE=

cos∠CGE=

所以二面角C-AD-E的余弦值为---------------------12分

解法二：

（I）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.，

设A（0,0,t），由已知条件有C(1,0,0), D(1,,0), E(-1, ,0),

，

所以，得AD⊥CE------------------4分

（II）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，设F（x,0,z）则=(x-1,0,z),

故CF⊥BE，又AB∩BE=B，所以CF⊥平面ABE，∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°

由CE=，得CF=，又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC为等边三角形，

因此A（0，0，）作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=|AD|

故G（）

又，

所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。

由cos()=

知二面角C-AD-E的余弦值为---------12分