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    【题目】已知数列的前项和为，其中为常数．

    （1）证明： ；

    （2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．

    【答案】（1）证明见解析；（2）.

    【解析】试题分析：（I）对于含递推式的处理，往往可转换为关于项的递推式或关于的递推式．结合结论，该题需要转换为项的递推式．故由得．两式相减得结论；（II）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由， ， ，列方程得，从而求出．得，故数列的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列的通项公式，再证明等差数列．

    试题解析：（I）由题设， ， ．两式相减得， ．

    由于，所以．

    （II）由题设， ， ，可得，由（I）知， ．令，解得．

    故，由此可得， 是首项为1，公差为4的等差数列， ；

    是首项为3，公差为4的等差数列， ．

    所以， ．

    因此存在，使得为等差数列．

    练习册系列答案
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    【题目】某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，，第二组，，第八组，，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．

    （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

    （2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

    （3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．

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    【题目】已知函数（且）.

    （1）讨论函数的单调性；

    （2）若，讨论函数在区间上的最值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：

    分组

    男生人数

    2

    16

    19

    18

    5

    3

    女生人数

    3

    20

    10

    2

    1

    1

    若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.

    （1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?

    （2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.

    ①求男生和女生各抽取了多少人；

    ②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人，认为作业不多的有9人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人，认为作业不多的有15人，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？

    0.50

    0.40

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    0.455

    0.708

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，过点的直线的参数方程为（为参数）.

    （Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

    （Ⅱ）若直线与曲线交于、两点，求的值，并求定点到，两点的距离之积.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：

    超过1小时

    不超过1小时

    男

    20

    8

    女

    12

    m

    （1）求m，n；

    （2）能否有95多的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？

    （3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．

    附：

    0.050

    0.010

    0.001

    k

    3.841

    6.635

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.

    按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.

    （1）计算弧田的实际面积；

    （2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）

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