Question

【题目】瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ）

A.圆M上点到直线的最小距离为2

B.圆M上点到直线的最大距离为3

C.若点（x，y）在圆M上，则的最小值是

D.圆与圆M有公共点，则a的取值范围是

Answer 1

【答案】ACD

【解析】

由题意结合“欧拉线”概念可得△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，结合直线方程的知识可得线段BC的垂直平分线的方程，由直线与圆相切可得圆M的方程；由圆心到直线的距离可判断A、B；令，由直线与圆相切可得z的最值，即可判断C；由圆与圆的位置关系即可判断D；即可得解.

由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，

由点B(－1,3)，点C(4,－2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率，

所以线段BC的垂直平分线的斜率，

所以线段BC的垂直平分线的方程为即，

又圆M：的圆心为，半径为，

所以点到直线的距离为，

所以圆M：，

对于A、B，圆M的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故A正确，B错误；

对于C，令即，当直线与圆M相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故C正确；

对于D，圆圆心为，半径为，若该圆与圆M有公共点，则即，解得，故D正确.

故选：ACD.