【题目】函数、
,给定下列命题:(1)不等式
的解集为
;(2)函数
在
上单调递增,在
上单调递减;(3)若函数
有两个极值点,则
;(4)若
时,总有
恒成立,则
1.其中正确命题的序号为_________.
【答案】(1)(4)
【解析】
利用导数研究函数的单调性,极值点,结合恒成立问题求参,对选项进行逐一分析即可.
因为、
,则
,
令,可得
,故
在该区间上单调递增;
令,可得
,故
在该区间上单调递减.
又当时,
,且
,
故的图象如下所示:
(1)数形结合可知,的解集为
,故(1)正确;
(2)由上面分析可知,(2)错误;
(3)若函数有两个极值点,
即有两个极值点,又
,
要满足题意,则需在
有两根,
也即在
有两根,也即直线
与
的图象有两个交点.
数形结合则,解得
.
故要满足题意,须得满足,显然(3)是错误的;
(4)若时,总有
恒成立,
即恒成立,
构造函数,则
对任意的
恒成立,
故在
单调递增,则
在
恒成立,
也即在区间
恒成立,则
,
故(4)正确.
故正确的为(1)(4).
故答案为:(1)(4).
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【题目】[2019·潍坊期末]某钢铁加工厂新生产一批钢管,为了了解这批产品的质量状况,检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测,将它们的内径尺寸作为质量指标值,由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图:
分组 | 频数 | 频率 |
25.05~25.15 | 2 | 0.02 |
25.15~25.25 | ||
25.25~25.35 | 18 | |
25.35~25.45 | ||
25.45~25.55 | ||
25.55~25.65 | 10 | 0.1 |
25.65~25.75 | 3 | 0.03 |
合计 | 100 | 1 |
(1)求,
;
(2)根据质量标准规定:钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格,钢管尺寸在或
为合格等级,钢管尺寸在
为优秀等级,钢管的检测费用为0.5元/根.
(i)若从和
的5件样品中随机抽取2根,求至少有一根钢管为合格的概率;
(ii)若这批钢管共有2000根,把样本的频率作为这批钢管的频率,有两种销售方案:
①对该批剩余钢管不再进行检测,所有钢管均以45元/根售出;
②对该批剩余钢管一一进行检测,不合格产品不销售,合格等级的钢管50元/根,优等钢管60元/根.
请你为该企业选择最好的销售方案,并说明理由.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程。
已知曲线C:
(t为参数), C
:
(
为参数)。
(1)化C,C
的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C上的点P对应的参数为
,Q为C
上的动点,求
中点
到直线
(t为参数)距离的最小值。
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【题目】瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:相切,则下列结论正确的是( )
A.圆M上点到直线的最小距离为2
B.圆M上点到直线的最大距离为3
C.若点(x,y)在圆M上,则的最小值是
D.圆与圆M有公共点,则a的取值范围是
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【题目】现有4名学生参加演讲比赛,有两个题目可供选择,组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目,规则如下:选手掷出能被3整除的数则选择
题目,掷出其他的数则选择
题目.
(1)求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率;
(2)用分别表示这4个人中选择
题目的人数,记
,求随机变量
的分布列与数学期望
.
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【题目】根据国际海洋安全规定:两国军舰正常状况下(联合军演除外),在公海上的安全距离为20(即距离不得小于20
),否则违反了国际海洋安全规定.如图,在某公海区域有两条相交成60°的直航线
,
,交点是
,现有两国的军舰甲,乙分别在
,
上的
,
处,起初
,
,后来军舰甲沿
的方向,乙军舰沿
的方向,同时以40
的速度航行.
(1)起初两军舰的距离为多少?
(2)试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定?并说明理由.
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【题目】袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:
(1)A:取出的两球都是白球;
(2)B:取出的两球1个是白球,另1个是红球.
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