Question

已知△ABC，在AB上取一点M，使AM=

1

3

AB，在AC上取一点N，使AN=

1

3

AC，在CM的延长线上取一点P，使MP=

1

2

CM，在BN的延长线上取一点Q，使NQ=

1

2

BN，试用向量的方法证明P、A、Q三点共线．

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：根据题意，画出图形，得出MN∥BC∥AP，利用向量的加法几何意义，表示出向量

AP

、

AQ

，证明向量共线即可．

解答： 解：根据题意，画出图形，如图所示；
∵AM=

1

3

AB，AN=

1

3

AC，MP=

1

2

CM，NQ=

1

2

BN，
∴MN∥BC∥AP；
∴向量

AP

=

AM

+

MP

=

1

3

AB

+

1

3

CP

，
向量

AQ

=

AN

+

NQ

=

1

3

AC

+

1

3

BQ

；
又∵

CM

+

MB

=

2

3

CP

+

2

3

AB

=

2

3

（

CP

+

AB

）=

BC

，
∴

AP

=

1

2

BC

，
同理

AQ

=

1

2

CB

，
∴

AP

=-

AQ

；
∴A、P、Q三点共线．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了平面几何中相似比的应用问题，解题时应画出图形，结合图形分析、解答问题，是综合题．