Question

（2012•江苏二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P在曲线xy=1（x＞0）上，点P在x轴上的射影为M．若点P在直线x-y=0的下方，当

OP2

OM-MP

取得最小值时，点P的坐标为

（

6 - 2

2

，

6 + 2

2

）

．

Answer 1

分析：设点P（t，

1

t

），将

OP2

OM-MP

化成关于t的表达式，结合题意得t-

1

t

是正数，利用基本不等式可求出

OP2

OM-MP

的最小值为2

2

，根据等号成立的条件求出t的值，从而得到此时点P的坐标．

解答：解：设点P（t，

1

t

），得OP²=t²+

1

t2

，而OM=t，MP=

1

t

∴

OP2

OM-MP

=

t2+ 1 t2

t- 1 t

=

(t - 1 t  )2+2

t- 1 t

=（t-

1

t

）+

2

t- 1 t

∵点P在直线x-y=0的下方，且t＞0
∴t＞1，得t-

1

t

是正数，所以（t-

1

t

）+

2

t- 1 t

≥2

2

当且仅当t-

1

t

=

2

t- 1 t

=

2

时，不等式的等号成立，解之得t=

6 - 2

2

，

1

t

=

6 + 2

2

∴点P的坐标为（

6 - 2

2

，

6 + 2

2

）
故答案为：（

6 - 2

2

，

6 + 2

2

）

点评：本题通过曲线上一个动点，求关于线段OP、OM、MP的分式的最小值，着重考查了曲线与方程、利用基本不等式求最值和简单的演绎推理等知识，属于中档题．