Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足条件：①f（0）=f（1）；②f（x）的最小值为-

1

8

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列{a_n}的前n项积为T_n，且Tn=(

4

5

)f(n)，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，求数列{na_n}的前n项的和．

Answer 1

分析：（1）根据条件①f（0）=f（1）与②f（x）的最小值为-

1

8

，建立a、b的两个等量关系，解之即可得．
（2）前n项积为T_n，则前n-1项积为T_n-1，所以an=

Tn

Tn-1

，验证首项即可．
（3）数列{na_n}的通项是由等差数列与等比数列的乘积，这一类一般利用错位相消的方法进行求和．

解答：解：（1）由题知：

a+b=0 a＞0 - b2 4a =- 1 8

，解得

a= 1 2 b=- 1 2

，
故f(x)=

1

2

x2-

1

2

x（4分）
（2）Tn=a1a2an=(

4

5

)

n2-n

2

，（5分）
Tn-1=a1a2an-1=(

4

5

)

(n-1)2-(n-1)

2

(n≥2)（7分）
∴an=

Tn

Tn-1

=(

4

5

)n-1(n≥2)，（9分）
又a₁=T₁=1满足上式．所以an=(

4

5

)n-1(n∈N*)（10分）
（3）解：Tn=(

4

5

)0+2(

4

5

)1+3(

4

5

)2++n(

4

5

)n-1，

4

5

Tn=

4

5

+2(

4

5

)2++(n-1)(

4

5

)n-1+n(

4

5

)n（11分）

1

5

Tn=1+

4

5

+(

4

5

)2++(

4

5

)n-1-n(

4

5

)n，（13分）

1

5

Tn=

1-( 4 5 )n

1- 4 5

-n(

4

5

)n，Tn=25-(25+n)(

4

5

)n，（15分）

点评：本题考查了二次函数的解析式的求解，以及数列的递推关系，数列的求和问题，属于中档题，同时也考查了学生的计算能力．