Question

8．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$．
（1）求不等式组表示的区域面积；
（2）求x²+y²的范围；
（3）求u=$\frac{{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标即可求不等式组表示的区域面积；
（2）设z=x²+y²，利用距离公式进行求解即可．
（3）根据分式的性质将u=$\frac{{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$进行分解，结合直线的斜率公式即可得到结论．

解答 解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（3，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（4，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
则不等式组表示的区域面积S=$\frac{1}{2}×（4-1）×（2-1）$=$\frac{3}{2}$；
（2）设z=x²+y²，则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，
由图象知OA的距离最小，OB的距离最大，
即z的最小值为z=1²+2²=5，z的最大值为z=4²+2²=20，
即5≤z≤20；
（3）u=$\frac{{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$=$\frac{{y}^{2}}{xy}$-$\frac{{x}^{2}}{xy}$=$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{y}{x}-\frac{1}{\frac{y}{x}}$．
设k=$\frac{y}{x}$，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知k_OA=2，k_OC=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{1}{3}$≤k≤2，
∵z=k-$\frac{1}{k}$在[$\frac{1}{3}$，2]上为增函数，
∴当k=$\frac{1}{3}$时，z=$\frac{1}{3}$-3=-$\frac{8}{3}$，当k=2，z=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
即-$\frac{8}{3}$≤z≤$\frac{3}{2}$，
即u=$\frac{{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$的取值范围是-$\frac{8}{3}$≤z≤$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．