Question

13．求证：函数f（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x在R上是单凋减函数．

Answer 1

分析 根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数的符号，可得函数的单调性．

解答 证明：∵f（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x，
∴f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$-1=$\frac{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，
当x≤0时，易得f′（x）＜0，
当x＞0时，$\sqrt{1+{x}^{2}}$＞x，此时f′（x）＜0，
综上，f′（x）＜0在R上恒成立，
故函数f（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x在R上是单凋减函数．

点评 本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，单调性的证明一般有三种途径：定义法，性质，导数法，本题用导数法相对简单．