Question

4．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，以20n mile/h的速度向正北方向航行，若甲船的航速为20$\sqrt{3}$n mile/h，那么甲船应沿什么方向航行才能与乙船在C处相遇？（用直尺画图）

Answer 1

分析 构建两个直角三角形后，令BD=x，则AB=2x，AD=$\sqrt{3}$x；BC=a，则AC=$\sqrt{3}$a．在RT△ACD中运用勾股定理可求出a和x之间的关系，从而得到AB=BC，依据三角形外角和定理，从而求出∠CAB，又因为∠BAD已知，则可找到所行驶方向．

解答 解：设甲船在C处追上乙船，根据题意知CD⊥AD，
∴∠ADB=90°，∠BAD=30°，
∴AB=2BD，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{3}$BD，
∵乙船正以20n mile/h的速度向正北方向行驶，而甲船的速度是20$\sqrt{3}$n mile/h，
∴设BC=a，则AC=$\sqrt{3}$a，
又在Rt△ABD中，令BD=x，则AB=2x，AD=$\sqrt{3}$x，
又∵在Rt△ADC中，AC²=AD²+DC²，∴x=$\frac{a}{2}$（舍负），
又在Rt△ABD中，AB=2x，
∴AB=a，
∴AB=BC，
∴∠C=∠CAB，
∴∠ABD=∠C+∠CAB，
∴∠ABD=2∠C．
∵∠ABD=60°，
∴∠C=30°．
∴∠CAD=60°．
∴这时甲船应朝北偏东30°方向行驶，才能最快追上乙船．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，方位角，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．