Question

（本题满分13分）

已知f(x)=ln(1+x²)+ax(a≤0)。

（1）讨论f(x)的单调性。

（2）证明：（1+）（1+）…（1+）＜e （n∈N*，n≥2,其中无理数e=2.71828…）

Answer 1

解析:

解：（理）（1）f′(x)= +a=………………………………1分

(i)若a=0时，f′(x)= ＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0

∴f(x)在(0,+∞)单调递增，在（-∞，0）单调递减。    …………………………3分

（ii）若时，f′(x)≤0对x∈R恒成立。

∴f(x)在R上单调递减。                           ……………………………6分

(iii)若-1＜a＜0，由f′(x)＞0＞0＜x＜

由f′(x)＜0可得x＞或x＜

∴f(x)在[，]单调递增

在（-∞，]，[上单调递减。

综上所述：若a≤－1时，f(x)在（－∞，+∞）上单调递减。………………………………7分

（2）由（1）当a=－1时，f(x)在（-∞，+∞）上单调递减。

当x∈（0，+∞）时f(x)＜f(0)

∴ln（1+x²）－x＜0 即ln（1+x²）＜x

∴ln[（1+）（1+）……(1+)]

=ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++…+

＜=1-+-+…+=1-＜1

∴（1+）（1+）……(1+)＜e   …………………………………………13分