Question

已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，过其右焦点且倾斜角为45°的直线被双曲线截得的弦MN的长为6．
（Ⅰ）求此双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与该双曲线交于两个不同点A、B，且以线段AB为直径的圆过原点，求定点Q（0，-1）到直线l的距离d的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线的标准方程根据离心率求得a和c的关系，把直线MN的方程代入双曲线方程整理得2x²+4ax-7a²=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而用弦长公式表示出||MN|求得a，进而根据离心率求得c，进而求得b，则双曲线方程可得．
（2）直线l与双曲线法才联立消去y，设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），利用韦达定理表示出x₃+x₄和x₃x₄，依据以线段AB为直径的圆过原点，所以x₃x₄+y₃y₄=0．代入求得1+k2=

2

3

m2由点到直线的距离表示出d，根据k的范围确定m的范围，进而求得d的最大值，此时的直线l的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）设双曲线的方程是

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则由于离心率e=

c

a

=2，所以c=2a，b²=3a²．
从而双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

3a2

=1，且其右焦点为F（2a，0）．
把直线MN的方程y=x-2a代入双曲线的方程，消去y并整理，得2x²+4ax-7a²=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2a，x1x2=-

7

2

a2．
由弦长公式，得|MN|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(-2a)2-4(- 7 2 a2)

=6．
所以a=1，b²=3a²=3．
从而双曲线的方程是x2-

y2

3

=1．
（Ⅱ）由y=kx+m和x2-

y2

3

=1，消去y，得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0．
根据条件，得△=4k²m²-4（3-k²）（-m²-3）＞0且3-k²≠0．
∴m²+3＞k²≠3．
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），则x3+x4=

2km

3-k2

，x3x4=

m2+3

k2-3

．
由于以线段AB为直径的圆过原点，所以x₃x₄+y₃y₄=0．
即（1+k²）x₃x₄+km（x₃+x₄）+m²=0．
从而有(1+k2)•

m2+3

k2-3

+km•

2km

3-k2

+m2=0，即1+k2=

2

3

m2．
∴点Q到直线l：y=kx+m的距离为：d=

|1+m|

k2+1

=

|1+m|

2 3 m2

=

6

2

|1+

1

m

|．
由k2=

2

3

m2-1≥0，解得-

6

3

≤

1

m

≤

6

3

且

1

m

≠0．
由k2=

2

3

m2-1≠3，解得

1

m

≠±

6

6

．
所以当m=

6

2

时，d取最大值

6

2

(1+

6

3

)=

6 +2

2

，此时k=0．
因此d的最大值为

6 +2

2

，此时直线l的方程是y=

6

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题是历年高考命题的热点，试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力．