Question

4．设m＞1，x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（　　）

• A． 2
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 3
• D． 2+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）上，由此判断出满足约束条件件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．

解答 解：∵m＞1，由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如图，
直线y=mx与直线x+y=1交于（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$），
目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$）处取得最大值，
由题意可知$\frac{1+{m}^{2}}{m+1}=2$，
又∵m＞1，解得m=1+$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．